Einstein
www.wszechwiedza.pl
Wirtualna kancelaria korepetytorska i konsultacyjna

Do ściągnięcia

Na tej stronie znajdą Państwo przykładowe zadania - z jakimi często mamy do czynienia w naszej pracy, wraz z rozwiązaniami.

Wyznaczenie rozwiązania poprzez zadanie dualne

Badania operacyjne to dziedzina nauki, którą można traktować, jako dział matematyki zajmujący się stosowaniem metod matematycznych do usprawniania procesów decyzyjnych i zarządczych. Najważniejszym jej obszarem jest poszukiwanie optymalnych rozwiązań w warunkach istnienia pewnych ograniczeń.

Jest to najmłodszy z działów matematyki, zapoczątkowany w USA i Wielkiej Brytanii w okresie drugiej wojny światowej, kiedy to sytuacja zmuszała do podejmowania decyzji w warunkach narzuconych przez surowe realia największego konfliktu zbrojnego w dziejach ludzkości.

Badania operacyjne obejmują wiele obszarów, wśród których jako najważniejsze wskazać można programowanie matematyczne, programowanie sieciowe, teorię zapasów, teorię kolejek czy łańcuchy Markowa.

Programowanie matematyczne zajmuje się optymalizowaniem (tj. maksymalizacją bądź minimalizacją), określonej funkcji (tzw. funkcji celu), przy jednoczesnym spełnieniu pewnych warunków ograniczających. Wydawać by się mogło, że stosownego aparatu matematycznego dostarcza rachunek różniczkowy. Jak się jednak okazuje, już w najprostszym przypadku, kiedy wszystkie funkcje, tj. funkcja celu oraz ograniczenia, mają charakter liniowy, rachunek rózniczkowy staje się bezużyteczny. Aby rozwiązać takie - z pozoru proste - zadanie należało odkryć inne narzędzie, określane mianem programowania liniowego.

Metoda graficzna to najprostsza metoda rozwiązywania zadań programowania liniowego. Poważnym jej ograniczeniem jest jednak to, że w sposób bezpośredni można jej użyć niemal wyłącznie do zadań z maksymalnie dwiema zmiennymi decyzyjnymi. Tylko w wyjątkowych przypadkach można z jej pomoca wyliczyć zadanie z większą ilością zmiennych - np. wówczas, gdy jedno z ograniczeń ma charakter równości, co pozwala wyeliminować jedną ze zmiennych.

Sytuacja zmienia się diametralnie, gdy wprawdzie jest więcej niż dwie zmienne decyzyjne, ale za to występują wyłącznie dwa ograniczena. Wówczas pierwotne (prymalne) zadanie nie może być rozwiązane metodą graficzną, ale taką metodą można rozwiązać zadanie dualne do niego, gdyż ilość zmiennych dualnych (tj. zmiennych decyzyjnych w zadaniu dualnym) równa jest ilości ograniczeń w zadaniu prymalnym.

Po wyznaczeniu rozwiązania zadania prymalnego, dzięki zasadzie komplementarności, można bez trudu wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego zadania. Poniżej znajduje się stosowny.

BO-dualne.pdf (137 kB)


Metoda simpleks

Metoda simpleks to uniwersalna metoda rozwiązywania zadań programowania liniowego, opracowana w 1947 roku przez amerykańskiego matematyka Georga Dantziga, za pomocą której można rozwiązać każde zadanie programowania liniowego.

Metoda simpleks jest metodą iteracyjną opartą na odpowiednim algorytmie, który w kolejnych krokach poprawia trywialne rozwiązanie startowe, aż do wyznaczenia rozwiązania optymalnego, bądź stwierdzenia sprzeczności albo też braku skończonego rozwiązania optymalnego.

Załączony przykład pokazuje "ręczną" realizację tej metody, polegającą na tworzeniu kolejnych tabel. Istnieje wiele odmian metody, różniącej się budową tabel, ale zasada pozostaje ta sama. Metoda simpleks może być realizowana za pomocą programu komputerowego. Popularny dodatek Excela - Solver - także korzysta z tej metody, do rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Metoda simpleks jest narzędziem uniwersalnym, co oznacza, że nie zawsze najlepszym. W pewnych wypadkach łatwiej wyznaczymy rozwiązanie korzystając z algorytmów wyspecjalizowanych - tak, jak ma to miejsce w przypadku zadań transportowych, albo zadań dotyczących przydziału, gdzie znacznie prostszy okazuje się algorytm węgierski.

Istnieją rozszerzenia metody simpleks, stosowane do zagadnień cakowitoliczbowych (np. algorytm Gomory'ego). Znana jest także postać odwrotna tej metody.

BO-simpleks.pdf (109 kB)

Estymacja parametrów liniowego modelu ekonometrycznego za pomocą metody najmniejszych kwadratów

Modele ekonometryczny, według definicji, jest matematycznym zapisem zależności ekonomicznych, służącym do opisu, analizy i przewidywania zjawisk ekonomicznych. W zasadzie nic nie stoi na przeszkodzie, by model ekonometryczny opisywał zjawiska inne niż ekonomiczne. Jest to bowiem narzędzie służące do analizy zależności pomiędzy zmiennymi, opisującymi i modelującymi określony fragment rzeczywistości.

Wyznaczanie parametrów modelu ekonometrycznego określa się tradycyjnie mianem estymacji, gdyż co do zasady traktujemy materiał badawczy, jako losową próbkę pobraną z większej populacji i na podstawie tej próbki dokonujemy szacowania parametrów w szerszej zależności, zachodzącej dla całej populacji generalnej.

Podstawową, najprostszą metodą szacowania parametrów modelu ekonometrycznego jest metoda najmniejszych kwadratów, polegająca na takim doborze parametrów modelu, aby suma kwadratów odchyłek wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej (endogenicznej) od jej wartości rzeczywistych (empirycznych), była jak najmniejsza.

Najczęściej studenci estymują parametry modelu ekonometrycznego za pomocą programów komputerowych - wszechstronnych, jak MS Excel, lub wyspecjalizowanych, jak Gretl czy Stata. Bardzo często jednak wymaga się od studentów znajomości "ręcznej" realizacji metody najmniejszych kwadratów.

Przykład takiej właśnie realizacji przedstawiono poniżej. Opróćz estymacji oarametrów strukturalnych modelu, zrealizowanej tutaj za pomocą wzorów opartych na rachunku macierzowym, zadanie obejmuje także wyznaczenie najważniejszych parametrów struktury stochastycznej modeli, weryfikację ich istotności statystycznej a także zweryfikowaniu składnika losowego (resztowego) modelu pod kątem występowania zjawiska autokorelacji reszt.

Zapraszamy do korzystania z naszych korepetycji z ekonometrii, a także możliwości zlecenia nam wykonania gotowego modelu ekonometrycznego.

ekon-01.pdf (123 kB)

Minimalizacja kosztów produkcji

Ekonomia matematyczna jest działem ekonomii, zajmującym się badaniem szeroko pojętych zjawisk mikro- oraz makroekonomicznych za pomocą zaawansowanych technik matematycznych, takich jak rachunek różniczkowy i całkowy, analiza szeregów czasowych, czy programowanie dynamiczne.

Jednym z podstawowych zagadnień, omawianych w ramach kursu tego przedmiotu na uczelniach wyższych, jest optymalizacja funkcji użyteczności konsumenta oraz zysków bądź kosztów producenta. We wszystkich tych przypadkach korzysta się z optymalizacji warunkowej opartej na metodzie Lagrange'a, która przy spełnieniu przez optymalizowaną funkcję określonych założeń (ścisłej wypukłości lub ścisłej wklęsłości, zależnie od konkretnego zagadnienia), sprowadza się do warunku zrównania określonych wartości krańcowych - np. krańcowego przychodu z krańcowym kosztem.

Przedstawiony poniżej przykład dotyczy minimalizacji funkcji kosztów producenta, przy danej postaci funkcji produkcji oraz określonej, wymaganej wielkości funkcji produkcji, dla zadanych cen czynników produkcji. W wyniku rozwiązania zadania, otrzymujemy funkcję warunkowego popytu na czynniki produkcji oraz funkcję minimalnego kosztu produkcji, będącą funkcją zmienej określającej wielkość produkcji.

ekon-mat1.pdf (84 kB)

Udowadnianie tautologii klasycznego rachunku zdań metodą zerojedynkową

Logika to nauka zajmująca się prawidłowym rozumowaniem i uzasadnianiem twierdzeń. Może być ona traktowana, jako jeden z działów matematyki, choć wiele spośród zagadnień będących jej przedmiotem jest na tyle od matematyki odległych, że bardziej właściwe jest jednak traktowanie jej, jako osobnej dyscypliny wiedzy.

W toku studiów, z logiką mają do czynienia zarówno studenci kierunków typowo ścisłych - zwłaszcza informatyki oraz elektroniki - wszak operacje logiczne to jedne z najważniejszych cegiełek składających się na programy komputerowe, czy układy cyfrowe, jak też i studenci tak z pozoru humanistycznych dziedzin nauki, jak prawo. Sprawne posługiwanie się logiką jest przecież niezbędne przy stosowaniu oraz interpretacji aktów prawnych.

Programy nauczania logiki obowiązujące przyszłych informatyków oraz prawników dość znacząco różnią sie od siebie, ale z całą pewnością i jedni i drudzy zetkną się z klasycznym rachunkiem zdań oraz tabelkową (zerojedynkową) metodą sprawdzania tautologii, czyli złożonych zdań logicznych, które niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, posiadają zawsze wartość logicznej prawdy.

Tego typu przykładowe zadanie, którego celem jest sprawdzenie tautologiczności zdań złożonych, zaprezentowano poniżej.

logika01.pdf (82 kB)

Obliczanie wysokości rat kredytu

Matematyka finansowa jest dziedziną matematyki stosowanej, zajmujacą się zastosowaniem metod matematycznych do analizy zjawisk zachodzących na rynku finansowym. Z podstawami matematyki finansowej mają już do czynienia uczniowie szkół średnich, zwłaszcza szkół o profilu ekonomicznym. Kurs matematyki finansowej w ramach studiów wyższych znajduje się w programie nauczania na takich kierunkach, jak ekonomia, czy finanse.

Jednym z elementarnych zagadnień matematyki finansowej jest rachunek lokat i kredytów. Jest to jednocześnie zagadnienie istotne w życiu codziennym. Wszak wielu z nas korzysta na pewnym etapie życia z różnego rodzaju kredytów i pożyczek, zarówno konsumenckich, jak i inwestycyjnych.

Przedmiotem zadania, które zamieściliśmy poniżej, jest wyznaczenie wysokości rat kredytu, w równym (annuitetowym) oraz malejącym systemie spłat. Wyznaczenie wysokości raty obejmuje nie tylko wyznaczenie łącznej jej wysokości, ale także wartości kapitału, który spłacany jest z tą ratą.

mat-fin.pdf (72 kB)

Algebra

Zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capellego w rozwiązywaniu układów równań liniowych

Matematyka wyższa to najważniejszy przedmiot na wszelkiego rodzaju studiach technicznych czy ekonomicznych. Przez jednych lubiana, przez innych postrzegana, jako groźne fatum. To ona jest najczęstszym narzędziem służącym redukcji ilości studentów po jednym lub dwóch semestrach nauki. Choć wielu narzeka i zadaje z pozoru retoryczne pytania "do czego mi to się przyda?", to jednak trzeba przyznać, że jeśli ta nauka jest ich piętą achillesową, to z innymi przedmiotami, w kolejnych latach nauki, może być jeszcze gorzej...

Nie nalezy się jednak załamywać. Może jednak dasz radę z matmą. Może po prostu trzeba poszukać dobrych korepetycji?!

Matematyka wyższa na studiach technicznych, czy ekonomicznych najczęściej realizowana jest jako dwa osobne przedmioty - algebra oraz analiza matematyczna, choć zdarza się, że kurs prowadzony jest jako jeden przedmiot.

Algebra w szkole średniej przedstawiona została, jako dział matematyki, zajmujący się działaniem na symbolach ("literach"). W ramach matematyki wyższej, jej definicja jest szersza. Zajmuje się ona bowiem strukturami algebraicznymi, czyli zbiorami, których elementem są działania i obiekty, na których są one wykonywane.

Spośród szerokiego zakresu algebry, najczęściej w programie nauczania studiów technicznych oraz ekonomicznych są: wektory, macierze, liczby zespolone oraz przestrzenie liniowe.

Poniższy przykład zawiera zadanie, którego przedmiotem jest wyznaczenie rozwiązania układu równań liniowych. Jest to jednak układ specyficzny, w którym ilości równań oraz niewiadomych nie są jednakowe. Układu takiego nie da się w związku z tym rozwiązać zwykłymi metodami - jak choćby metoda podstawiania, przeciwnych współczynników czy wyznacznikowa.

W pierwszej kolejności należy tutaj zbadać rozwiązalność układu, w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capellego, wykorzystując operacje elementarne na macierzach. W wyniku takiego badania albo okaże się, że układ w ogóle nie posiada rozwiązań (wówczas nie robi się już nic), albo okaże się, że układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań - a wtedy można, dzięki informacjom uzyskanym podczas dokonywania przekształceń, wyznaczyć przestrzeń tychże rozwiązań.

Kronecker.pdf (123 kB)


Analiza matematyczna

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Analiza matematyczna to dział matematyki wyższej, który najkrócej można określić, jako naukę o funkcji. Podwaliny pod ten chyba najważniejszy dział matematyki powstały już w XVII wieku, a najważniejsi jego twórcy (których nazwiska są postrachem kolejnych pokoleń studentów), to Newton, Leibnitz, Euler, Cauchy, Riemann czy Weierstrass.

Typowe zagadnienia w ramach kursu analizy matematycznej, to granice ciągów i funkcji, rachunek różniczkowy, rachunek całkowy.

Poniższe zadanie to można rzec "flagowy" przedstawiciel zadań z analizy matematycznej, czyli badanie przebiegu zmenności funkcji. W ramach tego badania określa się dziedzinę funkcji, jej granice a także jej monotoniczność, wklęsłość-wypukłość oraz punkty charakterystyczne (punkty przegięcia i ekstrema).

przebieg.pdf (148 kB)

Obliczanie prawdopodbieństwa w oparciu o definicję klasyczną

Choć nasza działalność edukacyjna stargetowana jest głównie na studentów uczelni wyższych, zdarza się nam także przyjmować zlecenia dotyczące zakresu szkoły średniej.

Dzisiejszy program nauczania matematyki w szkole średniej jest bardzo uproszczony - zwłaszcza dotyczy to zakresu tzw. matury podstawowej, ale nawet program rozszerzony nie obejmuje już pewnych zagadnień, które obowiązywały jeszcze trzydzieści lat temu. Współcześni licealiści czy uczniowie technikum nie uczą sie już np. o indukcji matematycznej, która pojawia się dopiero na studiach wyżśzych w ramach kursu matematyki dyskretnej.

Niezmiennie od wielu lat obecny jest jednak w programie nauczania rachunek prawdopodobieństwa. Jeden z ciekawszych działów matematyki, zajmujący się badaniem i przewidywaniem tego, co wydaje się nieprzewidywalne.

Poniższej zamieszczamy przykładowe zadanie z pogranicza rachunku prawdopodobieństwa i ściśle z nią związanej kombinatoryki. Chociaż dział operuje stosunkowo prostymi działaniami, to jednak sprawia młodym adeptom Królowej Nauk nie lada problemy, gdyż wymaga sporo analitycznego myślenia, matematycznej intuicji oraz wyobraźni.

prawdop.pdf (98 kB)

Całkowanie dynamicznych równań ruchu

Mechanika jest działem fizyki, zajmująca się ogólnymi prawami ruchu ciał fizycznych oraz działającymi na nie siłami. Kurs mechaniki znajduje się w programie chyba wszystkich kierunków studiów dostępnych na politechnikach, gdyż nawet informatyk czy menedżer, legitymujacy się literkami inż. przed nazwiskiem, musi znać przynajmniej podstawy tej nauki.

Mechanika sprawia największe trudności tym studentom, którzy zdecydowali się wybrać naukę na politechnice, ukończywszy liceum ogólnokształcące, w którym taki przedmiot nie pojawia się, a jedynie niektóre zagadnienia przerabiane są w ramach programu nauczania fizyki.

Mechanika ogólna tradycyjnie dzieli się na trzy działy: statykę, zajmującą się ciałami pozostającymi w spoczynku; kinematykę, zajmującą się ruchem ciał bez badania przyczyn ruch ten powodujących, oraz dynamikę, skupiającą się na owych przyczynach.

Zaprezentowane zadanie dotyczy ostatniego z wymienionych, uważanego za najtrudniejszy działu, tj. z dynamiki. Podobne zadania bywają rozwiązywane w szkole średniej, choć wymagania stawiane metodyce rozwiązywania są wyższe i obejmują wykorzystanie rachunku różniczkowego oraz całkowego.

mech-dyn01.pdf (149 kB)

Parametryczne testy istotności

Weryfikacja hipotezy o wartości oczekiwanej w populacji generalnej

Statystyka jest dziedziną nauki, najczęściej postrzeganą, jako dział matematyki, zajmujący się analizą, interpretacją i prezentacją danych. Jej przedmiotem jest badanie zjawisk masowych za pomocą metod ilościowych.

Statystyka dzieli się na statystykę opisową oraz statystyke matematyczną. Statystyka opisowa analizuje, interpretuje i prezentuje dane, traktując zbiorowość, z której dane te zostały pobrane, jako całość. Statystyka matematyczna natomiast, zwana także wnioskowaniem statystycznym traktuje badaną zbiorowość jako próbkę, stanowiącą podzbiór pewnej większej zbiorowości, czyli populacji. W oparciu o wyliczenia przeprowadzone dla próbki, formułuje się wnioski dla całej populacji.

To właśnie dzieki metodom statsytyki matematycznej, znamy przybliżone wyniki wyborów, zanim jeszcze wszystkie karty do głosowania zostaną policzone. To dzięki jej "magii", a naprawdę dzięki aparatowi matematycznemu, osadzonemu głęboko w rachunku prawdopodobieństwa, można poznać całość, badając jedynie część.

Oczywiście zawsze lepiej byłoby zbadać całość, ale... Może to być zadanie albo bardzo czasochłonne, albo nawet niemożliwe. Najprostszy przykład z brzegu - aby sprawdzić żywotność żarówki (ok, w dzisiejszych czasach powiemy raczej diody LED), należy ją tak długo "świecić", aż się przepali. Zbadanie średniego czasu działania wymaga zatem zniszczenia obiektu. Tutaj tylko badanie próbki ma sens.

Statystyka matematyczna obejmuje dwa obszary: teorię estymacji i teorię testów. Oba zajmują się formułowaniem wniosków dotyczących populacji w oparciu o wyniki z próby, ale reprezentują dwa różne podejścia.

Teoria estymacji zajmuje się wyznaczeniem wartości określonych parametrów statsytycznych populacji w oparciu o obliczenia dokonane dla próby, ustalając zazwyczaj pewne "widełki", zwane przedziałem ufności, natomiast teoria testów formułuje pewne dwa przeciwstawne sądy na temat populacji i w oparciu o dokonane obliczenia wskazuje, jako prawdziwy, jeden z nich.

Zaprezentowane zadanie dotyczy drugiego z wymieniowych obszarów, tj. teorii testów. W oparciu o kilkuelementową próbę weryfikowana jest prawdziwość pewnej opinii na temat wartości średniej w populacji. W zadaniu tym pojawia się słynny "rozkład Studenta". Nie chodzi tu oczywiście o rozkładanie studenta, ale o odkrycie pewnego człowieka o "ksywie" Student, zatrudnionego, jako kontroler jakości w browarach Guinessa w Dublinie i Londynie...

stat01.pdf (102 kB)

Gry dwuosobowe o sumie zerowej

Teoria gier to bardzo ciekawy dział matematyki, który najkrócej określić można, jako badanie optymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów. To jeden z młodszych działów matematyki, który jeszcze nie ukończył pierwszego stulecia swego istnienia.

Za twórcę teorii gier uważa się Johna von Neumanna, a innym człowiekiem który wniósł ogromny wkład w tę dziedzinę nauki jest John Nash, o historii życia którego powstał film "Piękny umysł". W przeciwieństwie do von Neumanna, Nash za swe osiągnięcia dostał nawet Nagrodę Nobla. Wprawdzie w dziedzinie królowej nauk - matematyki - nagrody tej nie przyznaje się, ale Nash otrzymał ją w dziedzinie ekonomii, albowiem teoria gier jest ściśle z nią związana.

Teoria decyzji jest formalnie inną dziedziną wiedzy, zajmującą się procesem podejmowania decyzji w warunkach pewności oraz niepewności. W wielu obszarach jednak teoria gier i decyzji nakładają się oraz uzupełniają. Optymalne zachowanie się w przypadku konfliktu interesów najczęściej bowiem polega właśnie na podjęciu jakiejś decyzji.

Przedstawione niżej zadanie, to elementarz teorii gier, czyli analiza gry dwuosobowej o sumie zerowej. To gra, gdzie jeden z graczy zyskuje dokłądnie tyle, ile traci drugi (jak w rozgrywanym towarzysko pokerze). Przedstawiono najprostszy przypadek, w którym rozwiązanie można znaleźć już na zasadzie wskazywania strategii dominujących i zdominowanych. Oczywiście potrafimy rozwiązać także i te trudniejsze.

gra-dwuosobowa.pdf (102 kB)